こんにちは。
ちゅんちゅんです 

最近ちゅんちゅんの知り合いが群論を勉強していて面白い問題を解いていました。

今日は、その問題の紹介と解答例を書きます。

また、大阪大学大学院の院試で似たような問題があったのを思い出したので、
その院試の問題の紹介と解答例も書いておきます 


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まず、知り合いの解いてた問題は次のような問題です。

$G$ を群とする。
$G$ のすべての元の位数が $2$ 以下ならば $G$ がアーベル群となることを示せ。

元の位数に関する条件だけから群の可換性に関する条件が出てきて、面白いですね 

解答例を書いてみたので、その pdf のリンクを貼っておきます。

上の問題の解答例



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次に、大阪大学大学院 数学専攻の去年の問題で、上の問題と似たような問題について書きます。

次の問題です。


$p$ は素数, $n$ は正の整数とする.
$G$ を位数が $p^{n}$ の群とし, $Z$ を $G$ の中心, すなわち
$Z=\{ g\in G\ |\ gh=hg,\ \forall h\in G \}$
とするとき, 以下の問いに答えよ. 

(1) $Z$ は, 単位群でない $G$ の正規部分群であることを示せ.
(2) 剰余群 $G/Z$ が巡回群ならば, $G$ は可換群であることを示せ.
     また, このことを用いて, $n=2$ のとき $G$ は可換群であることを示せ.
(3) $n=3$ のとき, $p$ を適当に選んで, 可換群でないような $G$ の具体例をひとつ挙げよ.

ぼくが似てると思ったのは、(2) の部分です。

$n=2$ のとき、$G$ が位数 $p^{2}$ の元を持てば $G$ は巡回群となりオッケーです。
そうでないときは、$G$ の単位元以外のすべての元の位数が $p$ となり、
ちゅんちゅんの知り合いの問題と似たような設定になります。

この問題もけっこう面白いと思ったので、略解を書いてみました。

以下のリンクが、それです。

阪大の院試2019の略解



それでは。