こんにちは

このあいだの記事で、整数1225の面白い性質について書きました。

整数 1225 の性質について、
まだ書こうと思ってた話があるので、書きます。

整数 $1225$ と直角三角形


整数 $1225$ を素因数分解すると、次のようになります;
\begin{eqnarray}1225=35^{2}\end{eqnarray}
一方で、$1225$ は次のように表すこともできます;
\begin{eqnarray}1225=21^{2}+28^{2}\end{eqnarray}
つまり、次の等式が成り立ちます;
\begin{eqnarray}35^{2}=21^{2}+28^{2}\end{eqnarray}
中学校や高校で習うピタゴラスの三平方の定理により、
この等式の図形的な意味は、
「辺の長さが $21,\ 28,\ 35$ の直角三角形が作れる」
という意味です。(参照:下の図1)
直角三角形212835
(図1. 辺の長さが $21,\ 28,\ 35$ の直角三角形)


ピタゴラス数


$21^{2}+28^{2}=35^{2}$ のように、直角三角形を作る整数の組のことを、
ピタゴラスの三平方の定理になぞらえて「ピタゴラス数」といいます。

つまり、整数の組 $(a,\ b,\ c)$ がピタゴラス数であるとは、
等式 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ が成り立つときをいいます。

また、辺の長さが整数であるような直角三角形のことを、
この記事では「整直角三角形」と呼ぶことにします。
(とっさに作った造語であって、一般的な呼び名ではないと思います。)


てきとーに整数の組 $(a,\ b,\ c)$ を思い浮かべてみてください。
$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ をみたすような $(a,\ b,\ c)$ を見つけるのは結構むずかしいと気づくはずです。

つまり、$(21,\ 28,\ 35)$ のようにピタゴラス数となるような数は結構珍しい数なのです。

ピタゴラス数の有名な例には、$(3,\ 4,\ 5)$ や $(5,\ 12,\ 13)$ などがあります。
が、これら以外の例を見つけるのは結構大変なのではないでしょうか?


ここで、ひとつの疑問が浮かび上がります。
ピタゴラス数は一体どれぐらいあるのだろうか?
つまり、
ピタゴラス数は無数にあるのか?それとも有限個しかないのか?


整直角三角形の拡大・縮小


前節の最後に投げかけた問は、少し考えるとすぐに答えが出ます。

なので、すぐ答えを言ってしまいますが、ピタゴラス数は無数にあります。


最初に $21^{2}+28^{2}=35^{2}$ という例を挙げましたが、この例はたまたま見つけたものではありません。
この例は、整直角三角形 $(3,\ 4,\ 5)$ を $7$ 倍に拡大して得ました。(参照:下の図2)
直角三角形拡大
(図2. 直角三角形の拡大)
この見つけ方のように、
整直角三角形は、$n$ 倍に拡大することによっていくらでも沢山得られます。

このように拡大・縮小して得られる整直角三角形は、
倍率が異なるだけで実質的には "同じ形" であるといえます。

"同じ形" の整直角三角形がいくら得られても、あまり面白くありませんね。

$(3,\ 4,\ 5)$ と $(5,\ 12,\ 13)$ は、どれだけ拡大縮小しても互いに重なりません。
つまり、これらの整直角三角形は本質的に "違う形" であると言えます。(参照:下の図3)
直角三角形違う形
(図3. "違う形" の整直角三角形)


すると、ここで新しい問いが自然に生まれますね。
つまり、
互いに "違う形" の整直角三角形は無数にあるのだろうか?


書いてるうちに長くなってしまったので、
今日はこの問いを投げかけたところでおしまいにしておきます。

答え合わせの記事を後日書こうと思いますので、
是非みなさん考えてみてください


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