メリークリス″math″❗
ちゅんちゅんです。

今日は🎄クリスマス🎄ということで、
12月25日にちなみ、
整数 1225 に関して、人に話したくなる面白い数学を説明します。

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整数 $1225$ は次のように表せます;

$1225 = 1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}$

つまり、$1225$ は、連続する奇数の $3$ 乗の和で表せます。
とても美しくて面白いですね♪

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以下では、この等式が正しいということを説明します。

右辺を愚直に計算するのは、
$3$ 乗という厄介な計算が何度も登場して骨が折れますね。
そこで、もっとラクチンに計算する方法を紹介します。

中学校や高校で習う次の因数分解の公式を思い出してください;
$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

足して$10$になるペアに対してこの公式を用いると、
\begin{eqnarray}1^{3}+9^{3}&=&(1+9)(1-9+81)\\ &=&10\times73\\ &=&730\end{eqnarray}
となります。

同様にして、
\begin{eqnarray}3^{3}+7^{3}&=&370\end{eqnarray}
も確かめられます。


よって、
\begin{eqnarray}1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}&=&(1^{3}+9^{3})+(3^{3}+7^{3})+5^{3}\\ &=&730+370+5^{3}\\ &=& 1100+5^{3}\end{eqnarray}
となります

ここで $5^{3}$ を計算してみると、
$5^{3}=125$ となります。


したがって、
\begin{eqnarray}1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}&=&1100+125\\ &=&1225\end{eqnarray}
が成り立つことが確かめられました❗

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大変そうに見えた計算も、
因数分解を駆使すると厄介な $3$ 乗の計算がたった1回で済みました◎

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整数 $1225$ には、他にも面白い性質がたくさんあります。

$1225$ の性質について調べたり考えたりしてみると、
クリスマスがより一層楽しい日になるのではないでしょうか?!


それでは、みなさんよいクリスマスをお過ごしください🎄
メリークリスマス!


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