メリークリス″math″❗
ちゅんちゅんです。
今日は🎄クリスマス🎄ということで、
12月25日にちなみ、
整数 1225 に関して、人に話したくなる面白い数学を説明します。
◎ ◎ ◎ ◎ ◎
整数 $1225$ は次のように表せます;
$1225 = 1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}$
つまり、$1225$ は、連続する奇数の $3$ 乗の和で表せます。
とても美しくて面白いですね♪
◎ ◎ ◎ ◎ ◎
以下では、この等式が正しいということを説明します。
右辺を愚直に計算するのは、
$3$ 乗という厄介な計算が何度も登場して骨が折れますね。
そこで、もっとラクチンに計算する方法を紹介します。
中学校や高校で習う次の因数分解の公式を思い出してください;
$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$
足して$10$になるペアに対してこの公式を用いると、
\begin{eqnarray}1^{3}+9^{3}&=&(1+9)(1-9+81)\\ &=&10\times73\\ &=&730\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}1^{3}+9^{3}&=&(1+9)(1-9+81)\\ &=&10\times73\\ &=&730\end{eqnarray}
となります。
同様にして、
\begin{eqnarray}3^{3}+7^{3}&=&370\end{eqnarray}
も確かめられます。
よって、
\begin{eqnarray}1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}&=&(1^{3}+9^{3})+(3^{3}+7^{3})+5^{3}\\ &=&730+370+5^{3}\\ &=& 1100+5^{3}\end{eqnarray}
となります。
\begin{eqnarray}1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}&=&(1^{3}+9^{3})+(3^{3}+7^{3})+5^{3}\\ &=&730+370+5^{3}\\ &=& 1100+5^{3}\end{eqnarray}
となります。
ここで $5^{3}$ を計算してみると、
$5^{3}=125$ となります。
したがって、
\begin{eqnarray}1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}&=&1100+125\\ &=&1225\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}&=&1100+125\\ &=&1225\end{eqnarray}
が成り立つことが確かめられました❗
◎ ◎ ◎ ◎ ◎
大変そうに見えた計算も、
因数分解を駆使すると厄介な $3$ 乗の計算がたった1回で済みました◎
◎ ◎ ◎ ◎ ◎
整数 $1225$ には、他にも面白い性質がたくさんあります。
$1225$ の性質について調べたり考えたりしてみると、
クリスマスがより一層楽しい日になるのではないでしょうか?!
それでは、みなさんよいクリスマスをお過ごしください🎄
メリークリスマス!
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お待ちしております🌱
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